연립방정식 계산기 - 2원·3원 방정식 풀이 과정 확인

연립방정식 계산기란?

2원·3원부터 최대 5개 미지수와 6개 방정식까지 연립일차방정식을 계산할 수 있습니다. 수식을 직접 입력하거나 계수표를 채우고 풀이 방법을 선택하세요. 정확한 분수 해, 소수 표시, 단계별 풀이와 자동 검산을 확인할 수 있습니다.

계산은 실수 범위의 일차식을 다룹니다. 변수의 제곱, 변수끼리의 곱, 변수가 분모에 있는 식과 삼각함수는 입력 형식을 확인해 주세요. 한 식 600자, 숫자 30자리, 소수점 아래 12자리까지 입력할 수 있습니다.

연립방정식이란?

여러 방정식을 동시에 만족하는 미지수 값을 찾는 문제입니다. 예를 들어 2x + y = 7과 x − y = 2를 함께 만족하는 값은 x = 3, y = 1입니다. 두 식에서 모두 등식이 성립해야 연립방정식의 해가 됩니다.

2원 1차 연립방정식 풀이 방법

연립방정식 가감법

한 변수의 계수를 맞춘 뒤 두 식을 더하거나 빼서 변수를 소거합니다. 2x + y = 7과 x − y = 2를 더하면 3x = 9가 됩니다. 따라서 x = 3이며, x − y = 2에 대입하면 y = 1입니다.

연립방정식 대입법

x + y = 5에서 y = 5 − x로 정리하고, 2x − y = 1에 대입하면 2x − (5 − x) = 1입니다. 동류항을 정리하면 3x = 6이므로 x = 2, y = 3입니다. 한 변수의 계수가 1이나 −1인 식은 대입할 식을 만들기 편합니다.

가감법과 대입법의 차이

가감법은 식끼리 더하거나 빼며 변수를 없애고, 대입법은 한 식의 변수 표현을 다른 식에 넣습니다. 두 방법 모두 동치인 식 변형을 사용하므로 같은 연립방정식의 해를 구합니다.

3원 1차 연립방정식과 가우스 소거법

x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, −x + 2y + 3z = 12의 해는 x = 1, y = 2, z = 3입니다. 계수와 상수를 확대행렬에 놓고 행을 교환하거나 상수배하고, 다른 행의 배수를 더해 변수를 소거합니다.

가우스-조던 소거법은 피벗을 1로 맞추고 피벗 열의 위아래를 모두 소거해 기약행 사다리꼴을 만듭니다. 이 페이지는 각 행 연산 뒤의 행렬을 기록하므로 변환 과정을 순서대로 볼 수 있습니다.

크래머 공식

2원·3원 정방시스템에서 계수행렬 A의 행렬식이 0이 아니면 각 열을 상수열로 바꾼 행렬 Aᵢ를 사용해 xᵢ = det(Aᵢ) ÷ det(A)로 구할 수 있습니다. det(A) = 0일 때는 행 연산을 통해 해의 존재를 따로 판별해야 합니다.

분수·소수 연립방정식 풀이

(1/2)x + (1/3)y = 7/6과 x + y = 3의 해는 x = 1, y = 2입니다. 소수도 정확한 유리수로 바꿔 계산합니다. 예를 들어 0.5는 1/2, 0.125는 1/8입니다. 결과의 기약분수는 정확한 값이며, ≈ 기호가 붙은 소수는 선택한 자릿수로 반올림한 근삿값입니다.

연립방정식 그래프와 교점

ax + by = c에서 b가 0이 아니면 y = −(a/b)x + c/b로 직선을 그립니다. b = 0이고 a가 0이 아니면 x = c/a인 수직선입니다. x = 2와 y = 3은 (2, 3)에서 만납니다.

두 직선이 서로 만나면 교점이 유일해입니다. 서로 다른 평행선에는 공통인 점이 없고, 두 직선이 일치하면 그 선 위의 모든 점이 해가 됩니다. 0 = 0은 좌표평면 전체를 만족하며 0 = 1은 만족하는 점이 없습니다.

연립방정식 해가 없을 때와 무수히 많을 때

x + y = 2와 2x + 2y = 5는 첫 식을 두 배 하면 우변이 4가 되어 모순입니다. 반면 두 번째 식이 2x + 2y = 4이면 같은 조건을 나타냅니다. 이때 y = t, x = 2 − t로 일반해를 쓸 수 있습니다. t는 임의의 실수입니다.

계수행렬의 계수 rank(A)보다 확대행렬의 계수 rank([A|b])가 크면 해가 없습니다. 두 계수가 같고 미지수 개수와 같으면 유일해, 미지수 개수보다 작으면 자유변수를 포함한 무한해입니다.

방정식 개수와 미지수 개수가 다른 경우

x + y + z = 5와 x − y + z = 1은 y = 2, x + z = 3으로 정리됩니다. z = t로 두면 x = 3 − t, y = 2, z = t입니다. 방정식 개수만으로 해를 결정하지 않고 독립적인 조건과 모순 여부를 확인해야 합니다.

연립방정식 검산 방법

구한 값을 원래 모든 식에 대입하세요. x = 3, y = 1을 2x + y = 7에 넣으면 2 × 3 + 1 = 7이고, x − y = 2에는 3 − 1 = 2입니다. 무한해는 일반해를 대입한 좌변과 우변이 매개변수의 모든 값에서 같은지 확인합니다.

연립방정식 활용 문제

공책 두 권과 펜 한 자루가 7,000원이고, 공책 한 권은 펜 한 자루보다 2,000원 비싸다고 합시다. 공책 가격을 x원, 펜 가격을 y원으로 두면 2x + y = 7000, x − y = 2000입니다. 풀면 공책은 3,000원, 펜은 1,000원입니다. 식을 세울 때 가격이나 거리 등의 단위를 통일하세요.

행렬과 행 연산 설명은 OpenStax의 가우스 소거법 교재에서 더 읽을 수 있습니다.

연립방정식 계산기 FAQ

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