피보나치 수열 계산기 - n번째 항·황금비 계산

피보나치 수열이란?

피보나치 수열은 앞의 두 항을 더해 다음 항을 만드는 수열입니다. 표준 표기는 F(0)=0, F(1)=1이며 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34로 이어집니다. 첫째 항을 1로 세는 방식은 같은 값을 F(1)부터 보여 줍니다.

피보나치 수열 계산 방법

F(2)=F(1)+F(0)=1, F(3)=F(2)+F(1)=2입니다. 이후에도 바로 앞의 두 값을 더하면 됩니다. 작은 범위는 반복문으로 계산하기 쉽고, 큰 n은 항을 전부 만들 필요가 없습니다.

피보나치 수열 공식과 일반항

재귀식은 F(n)=F(n-1)+F(n-2)입니다. 비네 공식은 φ=(1+√5)/2, ψ=(1-√5)/2일 때 F(n)=(φⁿ-ψⁿ)/√5로 나타냅니다. 일반 부동소수점으로 큰 n을 계산하면 반올림 오차가 생기므로 이 계산기는 정확한 정수 연산을 사용합니다.

피보나치 n번째 항 구하기

0 기반 인덱스에서 F(5)=5, F(10)=55, F(20)=6765, F(50)=12586269025, F(100)=354224848179261915075입니다. 1부터 세는 방식의 첫째 항은 F(1)=1입니다. 기준을 바꿀 때 숫자의 뜻을 확인하세요.

피보나치 수열의 합 공식

0부터 n까지의 합은 F(n+2)-1입니다. 예를 들어 F(0)부터 F(10)까지는 F(12)-1=143입니다. a부터 b까지의 구간 합은 F(b+2)-F(a+1)이며 F(1)부터 F(5)까지는 12입니다.

피보나치 수열과 황금비 관계

연속 항의 비율 F(n)/F(n-1)은 n이 커질수록 황금비 φ≈1.618033988749895에 가까워집니다. 다만 n=1에서는 분모 F(0)가 0이므로 비율을 정의할 수 없습니다. 그래프는 n=2~30의 근삿값을 표시합니다.

피보나치 나선이란?

변의 길이가 1, 1, 2, 3, 5처럼 증가하는 정사각형을 이어 배치하고 각 정사각형에 1/4원 호를 그린 근사 도형입니다. 정확한 로그 황금나선과 동일하지 않습니다.

피보나치 수열 파이썬 구현

두 변수를 바꾸며 0부터 원하는 항까지 순서대로 구할 수 있습니다. 이 방식은 n에 비례한 시간이 들지만 코드를 이해하기 쉽습니다.

a, b = 0, 1
for _ in range(11):
    print(a)
    a, b = b, a + b

피보나치 수열 JavaScript 구현

큰 정수를 정확히 다루려면 BigInt를 사용합니다. 아래 반복문은 F(0)부터 F(n)까지 차례로 계산하며, 결과를 문자열로 출력해야 JSON 직렬화 오류나 일반 숫자 정밀도 손실을 피할 수 있습니다.

function fibonacci(n) {
  let a = 0n, b = 1n;
  for (let i = 0; i < n; i++) [a, b] = [b, a + b];
  return a.toString();
}

피보나치 재귀와 동적 계획법 차이

단순 재귀는 같은 항을 반복 계산해 시간이 지수적으로 늘어납니다. 메모이제이션이나 반복문은 O(n)이고, 이 계산기의 Fast Doubling은 O(log n)번의 큰 정수 연산으로 n번째 항을 구합니다. 큰 정수 곱셈 비용까지 일정하다는 뜻은 아닙니다.

피보나치 되돌림 계산 방법

저점 100, 고점 200인 상승 구간에서 61.8% 되돌림 수준은 200-(200-100)×0.618=138.2입니다. 반대 방향의 반등 수준은 100+(200-100)×0.618=161.8입니다. 50%는 피보나치 수열에서 직접 나온 비율이 아닌 관용적 중간 수준입니다.

피보나치 수열의 활용

수학 학습과 알고리즘 연습, 일부 자연 패턴의 설명, 금융 차트의 기준선 계산에 쓰입니다. 자연 현상이 언제나 정확한 피보나치 수를 따르거나 차트 수준이 미래 가격을 예측한다는 뜻은 아닙니다.